Question

【題目】過直線上的點作橢圓的切線，切點分別為，聯結．

（1）當點在直線上運動時，證明：直線恒過定點；

（2）當時，定點平分線段．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

設．則橢圓過點的切線方程分別為．因為兩切線都過點，所以，．

這表明點均在直線①

上．由兩點決定一條直線知，式①就是直線的方程，其中滿足直線的方程．

（1）當在直線上運動時，可理解為取遍一切實數，相應的為．代

入式①消去得②

對一切恒成立．

變形可得對一切恒成立．

則．由此得直線恒過定點．

（2）當時，由式②知．解得．

代入式②得的方程為③

將此方程與橢圓方程聯立，消去得．

由此得截橢圓所得弦的中點橫坐標恰好為點的橫坐標，即．

代入式③可得弦中點縱坐標恰好為點的縱坐標，即．

這就是說，點平分線段．