Question

的內切圓與三邊的切點分別為,已知，內切圓圓心,設點A的軌跡為R.

（1）求R的方程；
（2）過點C的動直線m交曲線R于不同的兩點M,N，問在x軸上是否存在一定點Q（Q不與C重合），使恒成立，若求出Q點的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) ；(2)存在

試題分析：(1)根據切線長定理可得，AB-AC=2.根據雙曲線的定義可得點A的軌跡是雙曲線的一支，即可得到軌跡方程.
(2)因為恒成立，通過化簡可得等價結論，QC為∠MQN的角平分線.由直線MN垂直于x軸，顯然存在點Q.當MN不垂直x軸時，依題意所求的結論等價轉化于，通過聯立方程，利用韋達定理，即可求得點Q的橫坐標.
試題解析：（1）設點，由題知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2   
根據雙曲線定義知，點A的軌跡是以B、C為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支除去點E（1，0），故R的方程為
（2）設點由（I）可知


    ①當直線軸時
點在軸上任何一點處都能使得成立
②當直線MN不與軸垂直時，設直線
由得


要使，只需成立即即

即   故,故所求的點Q的坐標為時
使成立.