Question

△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
（1）證明：acosB+bcosA=c；
（2）若

sinC

2sinA-sinC

=

b2-a2-c2

c2-a2-b2

，求角B的大小．

Answer 1

考點：余弦定理的應用

專題：綜合題,解三角形

分析：（1）先利用正弦定理把a和b的表達式代入acosB+bcosA中，利用了兩角和公式化簡整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，進而把2RsinC轉化成邊，原式得證；
（2）利用余弦定理，正弦定理化簡，可得cosB=

1

2

，即可求角B的大小．

解答： （1）證明：由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R
∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA
=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右
原式得證．
（2）解：∵

sinC

2sinA-sinC

=

b2-a2-c2

c2-a2-b2

，
∴

sinC

2sinA-sinC

=

ccosB

bcosC

，
∴sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=

1

2

，
∵0°＜B＜180°，
∴B=60°．

點評：本題主要考查了余弦定理、正弦定理的應用．解題的關鍵是利用正弦定理完成了邊角問題的互化．