Question

已知對任意實數x，二次函數f（x）=ax²+bx+c恒非負，且a＜b，則M=

a+b+c

b-a

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：從二次函數的二次項系數及判別式限制，得到a，b，c滿足的不等關系；將M中的c利用得到的不等關系去掉；將代數式變形；利用基本不等式求出最小值，注意檢驗等號何時取到．

解答：解：∵二次函數f（x）=ax²+bx+c恒非負
所以a＞0 且 b²-4ac≤0
所以 4ac≥b²
所以 c≥

b2

4a

∴M=

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

(2a+b)2

4a(b-a)

=

[3a+(b-a)]2

4a(b-a)

 ≥

4(b-a)×3a

4a(b-a)

=3
當且僅當3a=b-a且c=

b2

4a

即c=b=4a時，取等號
故答案為3

點評：本題考查二次函數的函數值的情況取決于二次項系數的符號及判別式的符號、考查不等式的性質、考查利用基本不等式求函數的最值，關鍵是湊出能與分母有聯系的形式，要注意使用時滿足的條件：一正、二定、三相等．