Question

如圖所示，矩形中，，，，且，交于點.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、線線平行、線面平行的判定和性質以及三棱錐的體積等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力以及運算能力.第一問，由于為矩形，所以是中點，由于⊥平面，利用線面垂直的性質，得，而在中，，，所以是中點，所以∥，利用線面平行的判定得∥平面；第二問，因為⊥平面，所以⊥平面，利用線面垂直的性質，所以垂直面內的線，同理，⊥，利用線面垂直的判定，得⊥平面，所以利用第一問的結論得面，在中求出的長，在中求出的長，從而求出的面積，用等體積轉化法求.
試題解析：(1)由題意可得是的中點，連結，
∵⊥平面，∴.而，∴是的中點，                    2分
在中，，∴∥平面.                               5分
(2)∵⊥平面，，∴⊥平面，則⊥.
又∵⊥平面，則⊥，又，∴⊥平面.       8分
∵∥.而⊥平面，∴⊥平面.∵是中點，是中點，
∴∥且＝＝1.∴Rt△中，，        10分
∴.∴   12分