Question

以下正確命題的為

②③④

①命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②函數f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x的零點在區間(

1

3

，

1

2

)內；
③在極坐標系中，極點到直線l：ρsin(θ+

π

4

)=

2

的距離是

2

．
④函數f（x）=e^-x-e^x的圖象的切線的斜率的最大值是-2；
⑤線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心(

.

x

，

.

y

)，且至少過一個樣本點．

Answer 1

分析：由含有量詞的命題的否定規則，得到①不正確；根據函數零點存在性定理，可得②是真命題；將直線l的極坐標方程化成普通方程，結合點到直線的距離公式加以驗證，可得③是真命題；根據導數的運算法則與導數的幾何意義，結合基本不等式求最值，可得④是真命題；根據線性回歸的概念與性質，可得⑤不正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對于①，命題的否定為“任意的x∈R，x²-x-2＜0”，所以①不正確；
對于②，因為f(x)=x

1

3

-(

1

2

)x，滿足f(

1

3

)=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)^

1

3

＜0，且f(

1

2

)=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)^

1

2

＞0，
所以函數的零點在區間(

1

3

，

1

2

)，所以②是真命題；
對于③，將極坐標方程化成普通方程，得x+y-2=0，
利用點到直線的距離公式，得極點（0，0）到直線的距離為
d=

|0+0-2|

2

=

2

，故③是真命題；
對于④，函數f（x）=e^-x-e^x的導數為f′(x)=-e-x-ex=-(ex+

1

ex

)≤-2，
當且僅當ex=

1

ex

，即e^x=1，x=0時取等號，所以切線的斜率的最大值是-2，得④是真命題；
對于⑤，線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心(

.

x

，

.

y

)，但不一定過樣本點，可得⑤不正確，
綜上所述，得其中正確命題為②③④．
故答案為：②③④

點評：本題給出幾個關于函數的零點、函數圖象的切線和直線的極坐標方程的幾個命題，求其中的真命題．著重考查了含有量詞的命題的否定、函數零點存在性定理、導數的運算法則與幾何意義和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．