Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，右圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第n個圖形包含f（n）個小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）的關系式，并根據你得到的關系式求f（n）的表達式；
（3）求

1

f(1)

+

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

的值．

Answer 1

分析：（1）先分別觀察給出正方體的個數為：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；
（2）總結一般性的規律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用疊加法，可求f（n）的表達式；
（3）根據通項特點，利用裂項法求和，即可得到解決．

解答：解：（1）∵f（1）=1，f（2）=1+4=5，f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
∴f（5）=1+4+8+12+16=41．
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式規律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]
=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n²-2n+1．
（3）當n≥2時，

1

f(n)-1

=

1

2n2-2n+1-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

f(1)

+

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

=1+

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=1+

1

2

（1-

1

n

）=

3

2

-

1

2n

．

點評：本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結其內在聯系，得到一般性的結論，（3）問考查了裂項法求數列的和，屬于中檔題．