Question

【題目】已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點．

（1）求線段的中點的軌跡的方程；

（2）是否存在實數，使得直線與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

試題分析：（1）利用垂徑定理得到，取的中點N，則點M的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓在圓內部的圓弧

則點M的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓在圓內部的圓弧．寫出圓方程，進一步求得x的取值范圍，（2）直線L:y=k（x-4）經過定點R（4，0）過點R作圓的切線，切點為Q，判斷切點在圓弧上，又 ，所以．

試題解析：（1）取AB的中點M，連接．根據垂徑定理有即．取的中點N

則點M的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓在圓內部的圓弧．其所在圓的方程為，聯立解得 所以C:

（2）直線L:y=k（x-4）經過定點R（4，0）過點R作圓的切線，切點為Q，下面判斷切點的橫坐標是否在內，作出圓 ，C為的圓心，P為（2）中圓弧上端點，P作，則由相似三角形得， 而所以切點Q在（2）求得的圓弧上，又 ，所以．