Question

為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了地區內100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況，結果如下(單位：kg).

56.5     69.5     65     61.5     64.5     66.5     64     64.5     76     58.5 72      73.5      56     67      70       57.5     65.5   68       71     75 62      68.5      62.5    66      59.5      63.5     64.5   67.5     73     68 55      72        66.5   74       63       60      55.5    70      64.5    58 64      70.5      57     62.5      65       69      71.5    73      62     58 76      71        66     63.5     56       59.5     63.5    65      70     74.5 68.5    64        55.5    72.5     66.5      68      76      57.5    60     71.5 57     69.5       74     64.5      59       61.5     67      68     63.5    58 59     65.5       62.5    69.5      72      64.5     75.5     68.5    64     62 65.5   58.5       67.5    70.5       65       66      66.5     70     63     59.5

試根據上述數據畫出樣本的頻率分布直方圖.

Answer 1

思路分析：本題考查樣本頻率分布表及樣本頻率分布直方圖的作法.樣本數據小于某一數值的頻率叫做該數值點的累積頻率.利用樣本的累積頻率，可以對總體的分布進行估計，這是由于：對任意常數a，P(總體取值＜a)≈樣本數據小于a的頻率≈累積頻率折線上橫坐標為a的點的縱坐標(特別地，a是一個分組點時第二個“≈”即為等號)，而且對任意常數a₁＜a₂，P(a₁≤總體取值＜a₂)≈累積頻率折線圖上橫坐標各為a₁,a₂的兩點的縱坐標之差，即a₂點的累積頻率-a₁點的累積頻率.

解：按照下列步驟獲得樣本的頻率分布：

(1)求最大值與最小值的差.

在上述數據中，最大值是76，最小值是55，極差是76-55=21.

(2)確定組距與組數.

如果將組距定為2，那么由21÷2=10.5，組數為11，這個組數適合.于是組距為2，組數為11.

(3)決定分點.

    根據本例中數據的特點，第1小組的起點可取為54.5，第1小組的終點可取為56.5，為了避免一個數據既是起點，又是終點從而造成重復計算，我們規定分組的區間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是

［54.5，56.5)，［56.5，58.5)，…，［74.5，76.5).

(4)列頻率分布表.

分組	頻數累計	頻數	頻率
［54.5，56.5)	2	2	0.02
［56.5，58.5)	8	6	0.06
［58.5，60.5)	18	10	0.10
［60.5，62.5)	28	10	0.10
［62.5，64.5)	42	14	0.14
［64.5，66.5)	58	16	0.16
［66.5，68.5)	71	13	0.13
［68.5，70.5)	82	11	0.11
［70.5，72.5)	90	8	0.08
［72.5，74.5)	97	7	0.07
［74.5，76.5)	100	3	0.03
合計	100	100	1.00

(5)繪制頻率分布直方圖.

頻率分布直方圖如圖2-2-3所示.

                                   圖2-2-3

    方法歸納 由于圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻率，這個圖形的面積的形式反映了數據落在各個小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方面，頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀，它們起著相互補充的作用.在得到了樣本的頻率后，就可以對相應的總體情況作出估計.

    例如可以估計，體重在[64.5，66.5)kg的學生最多，約占學生總數的16%；體重小于58.5 kg的學生較少，約占8%等等.

    與頻率分布表相比較，頻率直方圖能直觀表明數據的分布形狀，但原始數據不能在圖中表示，說明直方圖丟失了一些信息.