Question

【題目】已知函數，函數， ， 且.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，且對任意的，總存在，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時， 在上單調遞減，當時， 在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；（2）.

【解析】試題分析：（1）確定函數定義域，對函數求導，根據導數的正負確定單調區間；（2）分別表示出的值域，根據的值域應為的值域的子集可得答案.

試題解析：（1），………………………………1分

當時， ，則在上單調遞減.……………………2分

當時， 得；由得.…………………………4分

∴在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.………………5分

（2）∵對任意的，總存在，使，

∴對任意的，總存在，使，………………6分

設在上的值域為，函數在上的值域為，則.……7分

當時， ，即函數在上單調遞減，∴，…………………………………………………………8分

，

①當時， 在上是減函數，此時， 的值域為，

∵，又，∴，即.………………10分

②當時， 在上是增函數，此時， 的值域為，∵，

∴，∴，

綜上可知的取值范圍是.…………………………12分