Question

 

（13分，理科做）已知函數的定義域為，且同時滿足：①；②恒成立；③若，則有．

（1）試求函數的最大值和最小值；

（2）試比較與的大小N）；

（3）某人發現：當x=(nÎN)時，有f(x)<2x＋2.由此他提出猜想：對一切xÎ(0,1,都有，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（理）解: (1)設0≤x1<x2≤1,則必存在實數tÎ(0,1),使得x2=x1＋t,

由條件③得,f(x2)=f(x1＋t)³f(x1)＋f(t)－2,

∴f(x2)－f(x1)³f(t)－2,

由條件②得, f(x2)－f(x1)³0,

故當0≤x≤1時,有f(0)≤f(x)≤f(1).

又在條件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)＋f(0)－2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,

故函數f(x)的最大值為3,最小值為2.

(2)解:在條件③中,令x1=x2=,得f()³2f()－2,即f()－2≤[f()－2],  

故當nÎN*時，有f()－2≤[f()－2]≤[f()－2]≤···≤[f()－2]=,

即f()≤＋2.

又f()=f(1)=3≤2＋,所以對一切nÎN,都有f()≤＋2.

 (3)對一切xÎ(0,1,都有.對任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得

<x≤,  根據（1）（2）結論，可知：f(x)≤f()≤＋2,

且2x＋2>2´＋2=＋2,故有.

綜上所述，對任意xÎ(0,1,恒成立. 

 

【解析】略