Question

A、B兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員，A隊隊員是A₁，A₂，A₃，B隊隊員是B₁，B₂，B₃，按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：

對陣隊員	A隊隊員勝的概率	A隊隊員負的概率
A1對B1	2 3	1 3
A2對B2	2 5	3 5
A3對B3	2 5	3 5

現按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分，設A隊、B隊最后所得總分分別為ξ、η．
（1）求ξ、η的概率分布；
（2）求Eξ，Eη．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題兩個變量之間具有特殊關系，根據相互獨立事件同時發生的概率做出變量ξ的分布列，根據兩者之間和為3，得到另一個變量的分布列．
（2）由題意知本題兩個變量之間具有特殊關系，兩個變量的期望之間也有這種關系，兩個變量的期望的和是3，解出一個，另一個用做差來解．

解答：解：（1）ξ、η的可能取值分別為3，2，1，0．
P(ξ=3)=

2

3

×

2

5

×

2

5

=

8

75

P(ξ=2)=

2

3

×

2

5

×

3

5

+

1

3

×

2

5

×

2

5

+

2

3

×

3

5

×

2

5

=

28

75

，P(ξ=1)=

2

3

×

3

5

×

3

5

+

1

3

×

2

5

×

3

5

+

1

3

×

3

5

×

2

5

=

2

5

，
P(ξ=0)=

1

3

×

3

5

×

3

5

=

3

25

．
根據題意知ξ+η=3，
∴P（η=0）=P（ξ=3）=

8

75

，
P（η=1）=P（ξ=2）=

28

75

，
P（η=2）=P（ξ=1）=

2

5

，
P（η=3）=P（ξ=0）=

3

25

．

（2）Eξ=3×

8

75

+2×

28

75

+1×

2

5

+0×

3

25

=

22

15

，
∵ξ+η=3，
∴Eη=3-Eξ=

23

15

．

點評：本小題考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大．