Question

橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為

1

2

．點P（1，

3

2

）、A、B在橢圓E上，且

PA

+

PB

=m

OP

（m∈R）．
（1）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（2）當m=-3時，證明原點O是△PAB的重心，并求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用橢圓的離心率為

1

2

，點P（1，

3

2

）在橢圓E上，可求幾何量，從而可得橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=m

OP

，結(jié)合點差法，即可求得直線AB的斜率；
（2）證明△PAB的重心坐標為（0，0）即可，確定AB中點坐標，點差法求直線AB的斜率，即可求得直線AB的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率為

1

2

，點P（1，

3

2

）在橢圓E上，
∴e2=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=m

OP

得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，

3

2

），即

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，
兩式相減得kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

×

2+m

3+ 3 2 m

=-

1

2

；
（2）由（1）知，點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標滿足

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

，
點P的坐標為（1，

3

2

），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+

3

2

=3+

3m

2

+

3

2

=0，
因此△PAB的重心坐標為（0，0）．即原點是△PAB的重心．
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-

3

2

，∴AB中點坐標為（-

1

2

，-

3

4

），
又

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1，兩式相減得kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

；
∴直線AB的方程為y+

3

4

=-

1

2

（x+

1

2

），即x+2y+2=0．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查點差法求直線的斜率，正確運用橢圓方程是關(guān)鍵．