Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n.

    (Ⅰ)若S_m，S_m＋2，S_m＋1成等差數列，證明a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差數列；

    (Ⅱ)寫出(Ⅰ)的逆命題，判斷它的真偽，并給出證明.

Answer 1

（Ⅰ）見解析     （Ⅱ）  見解析

解析:

(Ⅰ) ∵S_m＋1＝S_m＋a_m＋1，S_m＋2＝S_m＋a_m＋1＋a_m＋2．

由已知2S_m＋2＝S_m＋S_m＋1，∴ 2(S_m＋a_m＋1＋a_m＋2)＝S_m＋(S_m＋a_m＋1)，

∴a_m＋2＝－a_m＋1，即數列{a_n}的公比q＝－.

   ∴a_m＋1＝－a_m，a_m＋2＝a_m，∴2a_m＋2＝a_m＋a_m＋1，∴a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差數列.

   (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命題是：若a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差數列，則S_m，S_m＋2，S_m＋1成等差數列.

    設數列{a_n}的公比為q，∵a_m＋1＝a_mq，a_m＋2＝a_mq²．

由題設，2a_m＋2＝a_m＋a_m＋1，即2a_mq²＝a_m＋a_mq，即2q²－q－1＝0，

∴q＝1或q＝－.

    當q＝1時，A≠0，∴S_m， S_m＋2， S_m＋1不成等差數列.

逆命題為假.