Question

已知函數f（x）=-x²+2ax-3a．
（Ⅰ）若函數y=f（x）在（-∞，1）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當函數f（x）在[1，2]上的最大值為4時，求實數a的值．

Answer 1

分析：（I）根據二次函數的圖象和性質，可得函數f（x）=-x²+2ax-3a的圖象開口朝下，對稱軸為直線x=a，由函數y=f（x）在（-∞，1）上是增函數，可得區間（-∞，1）完全在對稱軸的左邊，進而可得實數a的取值范圍；
（Ⅱ）分當a≤1時，當1＜a＜2時，和當a≥2時三種情況，結合函數f（x）在[1，2]上的最大值為4及二次函數的圖象和性質，分類討論滿足條件的a值，最后綜合討論結果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）=-x²+2ax-3a=-（x-a）²+a²-3a．          …（1分）
∴函數f（x）=-x²+2ax-3a的圖象是開口朝下，且對稱軸為直線x=a的拋物線，
因為函數y=f（x）在（-∞，1）上是增函數，
所以a≥1．
故實數a的取值范圍是[1，+∞）．                            …（4分）
（Ⅱ）①當a≤1時，函數y=f（x）在[1，2]上是減函數，
于是，y_max=f（1）=-a-1=4．
所以a=-5，符合題意．                              …（5分）
②當1＜a＜2時，函數y=f（x）在[1，a]上是增函數，在（a，2]上是減函數，
于是，ymax=f(a)=a2-3a=4．
所以a=-1或4，舍去．                              …（6分）
③當a≥2時，函數y=f（x）在[1，2]上是增函數，
于是，y_max=f（2）=a-4=4．
所以a=8，符合題意．                               …（7分）
綜上所述，實數a的值為-5或8．                           …（8分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．