Question

已知函數f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)  (0＜?＜π，ω＞0)為偶函數，且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸的距離為

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區間．
（3）若存在x0∈(0，

2π

3

)，使不等式f（x₀）＜m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡f（x）的解析式，利用f（x）為偶函數求出?值，再利用周期等于π，求出ω，即得f（x）的解析式．
（2）g(x)=2cos2(x-

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，解得x的范圍，即得函數的單調遞減區間．
（3）依題可得只需x0∈(0，

2π

3

)時，m大于f（x₀）的最小值即可．

解答：解：（1）

f(x)= 3 sin(ωx+?)-cos(ωx+?)

=

2sin(ωx+?- π 6 )

，
∵f（x）為偶函數，所以?-

π

6

=kπ+

π

2

，又0＜?＜π，所以?=

2π

3

，
函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸的距離為

π

2

，所以周期T=π，于是ω=2，所以，f(x)=2sin(2x+

π

2

)=2cos2x．
（2）g(x)=2cos2(x-

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，
解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，所以函數的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]   (k∈Z)．
（3）依題可得只需x0∈(0，

2π

3

)時，m＞（f（x₀））_min =-2．

點評：本題考查y=Asin（ωx+∅）的圖象的變換，正弦函數的奇偶性、單調性及最值，求g（x）的單調遞減區間是解題的難點．