Question

如圖1，在△ABC中AB⊥AC、AD⊥BC，D是垂足，則AB²=BD•BC（射影定理）．類似的有命題：在三棱錐A-BCD（圖2）中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O為垂足，且O在△BCD內，則（S_△ABC）²=S_△BCO•S_△BCD（S表示面積．上述命題（　　）

A．是真命題

B．是假命題

C．增加條件“AB⊥AC”才是真命題

D．增加條件“A-BCD是正三棱錐”才是真命題

Answer 1

分析：通過連接DO，據BC⊥AO，BC⊥AD得到BC⊥面ADE，得到BC⊥ED得到滿足平面條件的三角形AED，利用平面三角形的性質得證．

解答：解：命題是一個真命題．
在圖（2）中，連接DO，并延長交BC于E，連接AE，則有OE⊥BC．
因為AO⊥面ABC，所以AO⊥AE．
又AO⊥DE，所以AE²=EO•ED．
于是S△ABC2=(

1

2

BC•AE)2(

1

2

BC•EO)•(

1

2

BC•ED)=S_△BCO•S_△BCD．
故有S_△ABC²=S_△BCO•S_{△BCD．
故選A}．

點評：本題考查類比推理及利用平面的性質證明空間的結論．考查空間想象能力，難度較大．