Question

（1）若函數f(x)=ax²-x-1有且僅有一個零點，求實數a的值；
（2）若函數f(x)=|4x-x²|+a有4個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）a=0或a=-（2）a的取值范圍是（-4,0）

（1）若a=0，則f(x)=-x-1,
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合題意；                               2分
若a≠0，則f(x)=ax²-x-1是二次函數，
故有且僅有一個零點等價于Δ=1+4a=0，解得a=-，                      4分
綜上所述a=0或a=-.                                         6分

（2）若f(x)=|4x-x²|+a有4個零點，
即|4x-x²|+a=0有四個根，即|4x-x²|=-a有四個根.                    8分 
令g(x)=|4x-x²|,h(x)=-a.
作出g(x)的圖象，由圖象可知如果要使|4x-x²|=-a有四個根，                       
那么g(x)與h（x)的圖象應有4個交點.                                 12分
故需滿足0＜-a＜4,即-4＜a＜0.
∴a的取值范圍是（-4,0）.                                         14分