Question

已知各項均為整數的數列{a_n}滿足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12項依次成等差數列，從第11項起依次成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若存在正整數m、p使得：a_m+a_m+1+…+a_m+p=a_ma_m+1…a_m+p，請找出所有的有序數對（m，p），并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）各項均為整數的數列{a_n}滿足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12項依次成等差數列，從第11項起依次成等比數列，列方程，分別求出等差數列的公差和等比數列的公比，即可求出數列{a_n}的通項公式；（2）根據（1）得出數列{a_n}為：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…，分類討論當a_m，a_m+1，…，a_m+p均為負數和當a_m，a_m+1，…，a_m+p均為正數，
可得a_m+a_m+1+…+a_m+p=0，根據負數項只有九項，我們按負數項分類：即可求得結果．

解答：解：（1）設由前12項構成的等差數列的公差為d，從第11項起構成的等比數列的公比為q，
由a13=

a122

a11

=

(-1+3d)2

-1+2d

=4，可得

q=2 d=1

，或

q=6 d= 5 9

．
又數列{a_n}各項均為整數，故

q=2 d=1

；  所以，an=

n-10 n≤12 2n-11，n≥13

n∈N*．
（2）數列{a_n}為：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
當a_m，a_m+1，…，a_m+p均為負數時，
顯然a_m+a_m+1+…+a_m+p＜0，所以a_ma_m+1…a_m+p＜0，即a_m，a_m+1，…，a_m+p共有奇數項，即p為偶數；
又最多有9個負數項，所以p≤8，p=2時，經驗算只有（-3）+（-2）+（-1）=（-3）•（-2）•（-1）符合，
此時m=7；p=4，6，8時，經驗算沒有一個符合；
故當a_m，a_m+1，…，a_m+p均為負數時，存在有序數對（7，2）符合要求．
當a_m，a_m+1，…，a_m+p均為正數時，m≥11且m∈N^*，
a_m+a_m+1+…+a_m+p=2^m-11+2^m-10+…+2^m+p-11=2^m-11（1+2+…+2^p）=2^m-11（2^p+1-1）amam+1…am+p=2m-11•2m-10…2m+p-11=(2m-11)p•21+2+…+p=(2m-11)p•2

(p+1)p

2

因為2^p+1-1是比1大的奇數，所以a_m+a_m+1+…+a_m+p能被某個大于1的奇數（2^p+1-1）整除，
而(2m-11)p•2

(p+1)p

2

不存在大于1的奇約數，故a_m+a_m+1+…+a_m+p≠a_ma_m+1…a_m+p；
故當a_m，a_m+1，…，a_m+p均為正數時，不存在符合要求有序數對；   
當a_m，a_m+1，…，a_m+p中既有正數又有負數，即a_m，a_m+1，…，a_m+p中含有0時，
有a_ma_m+1…a_m+p=0，所以a_m+a_m+1+…+a_m+p=0，
因為負數項只有九項，我們按負數項分類：
含1個負數項時，-1，0，1，符合，此時m=9，p=2；
含2個負數項時，-2，-1，0，1，2，符合，此時m=8，p=4；
含3個或4個負數項時，經驗算不存在符合要求的；
含5個負數項時，-5，-4，-3-2，-1，0，1，2，4，8，符合，此時m=5，p=9；
含6個及6個以上負數項時，經驗算不存在符合要求的；
故當a_m，a_m+1，…，a_m+p中既有正數又有負數時，存在三組有序數對（9，2），（8，4），（5，9）符合要求；
綜上，存在四組有序數對（9，2），（8，4），（5，9），（7，2）符合要求．

點評：本題是難題，考查等比數列和等差數列的綜合問題，考查分析問題解決問題的能力和運算能力，體現了分類討論的數學思想方法．