Question

（2008•長寧區二模）已知函數f（x）=ax+b，當x∈[a₁，b₁]時，值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時，值域為[a₃，b₃]，…當x∈[a_n-1，b_n-1]時，值域為[a_n，b_n]，…其中a，b為常數，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）若a＞0，a≠1，要使數列{b_n}是公比不為1的等比數列，求b的值；并求此時[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）若a＞0，設數列{a_n}與{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）的值．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，數列{a_n}與{b_n}的都是公差為b的等差數列，根據a₁=0，b₁=1可求出數列的通項公式；
（2）要使數列{b_n}是公比不為1的等比數列則

bn

bn-1

為常數，從而求出b，然后求出數列的通項公式，討論a與1的大小可求出此時[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）可先證{b_n-a_n}成等比數列，然后求出其通項公式，討論a是否為1，再根據等差數列與等比數列分組求出前n項和即可．

解答：解：（1）a=1時，f（x）=x+b單調遞增，因此

an=an-1+b bn=bn-1+b

…..…．（3分）∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b．…．（5分）
（2）∵a＞0，∴f（x）遞增，∴b_n=ab_n-1+b，∵

bn

bn-1

=a+

b

bn-1

，由條件

bn

bn-1

為常數，∴b=0，…．（7分）
這時{b_n}是公比為a的等比數列，b_n=a^n-1，∵b=0，a_n=aa_n-1，而a₁=0，∴a_n=0．∴[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]=[0，1]∪[0，a]∪…∪[0，a^n-1]，…..（9分）
當0＜a＜1時，上式=[0，1]；…．…．（10分）
當a＞1時，上式=[0，a^n-1]．…．（11分）
（3）當a＞0時，a_n=a•a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b，∴b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），∴{b_n-a_n}成等比數列，b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=a^n-1．…．（13分）
當a=1時，b_n-a_n=1，∴T_n-S_n=n，∴原式=1+2+…+2008=1004×2009=2017036．…．（15分）
當a≠1時，Tn-Sn=

1-an

1-a

=

1

1-a

-

an

1-a

，…..（16分）∴原式=

2008

1-a

-

1

1-a

•

a(1-a2008)

1-a

=

2008

1-a

-

a(1-a2008)

(1-a)2

．…．（18分）

點評：本題主要考查了等比數列前n項和，以及數列的通項公式，同時考查了計算能力和分類討論的思想，屬于中檔題．