4、已知x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，則x₁+x₂值為

．

分析：第一個方程：lgx=3-x．第二個方程，10^x=3-x，lg（3-x）=x．注意第二個方程，如果做變量代換y=3-x，則lgy=3-y，其實是與第一個方程一樣的．那么，如果x₁，x₂是兩個方程的解，則必有x₁=3-x₂，也就是說，x₁+x₂=3．

解答：解：∵x+lgx=3，∴lgx=3-x．
∵x+10^x=3，∴10^x=3-x，
∴lg（3-x）=x．如果做變量代換y=3-x，則lgy=3-y，
∵x₁是方程x+lgx=3的根，x₂是方程x+10^x=3的根，
∴x₁=3-x₂，∴x₁+x₂=3．
答案：3．

點評：本題考查對數函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．

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（Ⅱ）設直線l是曲線y=f（x）的切線，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率時切線l的方程；
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時，f（x）取得極小值

．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=

[5x-f(x)]，設x₁是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

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