Question

（2012•茂名二模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F分別在邊CD，CB上，點E與點C，點D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF將△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
（1）求證：BD⊥平面POA
（2）設AO∩BD=H，當O為CH中點時，若點Q滿足

AQ

=

QP

，求直線OQ與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由菱形的性質可得BD⊥AO，再利用面面垂直的性質可得PO⊥平面ABFED，得到PO⊥BD，進而得到結論；
（2）通過建立空間直角坐標系，利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角即可得出．

解答：（1）證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）由（1）可知：AC⊥BD，
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2

3

．
∵O為CH的中點，∴PO=

3

．
如圖，以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz．則O（0，0，0），A(3

3

，0，0)，
B(

3

，2，0)，D(

3

，-2，0)，P(0，0，

3

)．
∴

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)．
由

AQ

=

QP

，得Q為AP的中點．
∴Q(

3 3

2

，0，

3

2

)．∴

OQ

=(

3 3

2

，0，

3

2

)．
設平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =0 n • BD =0

得

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

，取x=1，得y=0，z=1．
∴

n

=(1，0，1)．
設直線OQ與平面PBD所成的角為θ．
則sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

| n • OQ |

| n | | OQ |

=

| 3 3 2 + 3 2 |

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

=

2 5

5

．
因此直線OQ與平面PBD所成的角的正弦值為

2 5

5

．

點評：熟練掌握菱形的性質、面面垂直的性質、線面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標系利用斜線的方向向量和平面的法向量的夾角求線面角是解題的關鍵．