Question

（本小題滿分14分）某光學儀器廠有一條價值為萬元的激光器生產線，計劃通過技術改造來提高該生產線的生產能力，提高產品的增加值. 經過市場調查，產品的增加值萬元與技術改造投入萬元之間滿足：①與成正比；②當時，，并且技術改造投入滿足，其中為常數且.
（I）求表達式及定義域；
（II）求技術改造之后，產品增加值的最大值及相應的值.

Answer 1

解：（I）設.
由時，可得.
所以.          ………………………………………………………3分
由解得.
所以函數的定義域為.      ………………………………6分
（II）由（I）知，所以.
令得.      ………………………………………………………………8分
因為，所以，即.
當時，，函數是增函數；
當時，，函數是減函數.   ……………………………11分
所以當時，函數取得最大值，且最大值是.  …………………..13分
所以，時，投入萬元最大增加值萬元.    ………………………14分

略