Question

已知函數f（x）=（x+2）|x-2|．
（1）若不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）解不等式f（x）＞3x．

Answer 1

分析：（1）當x∈[-3，1]時，f（x）=-x²+4，可得0≤x²≤9，于是-5≤-x²+4≤4，由此求得函數f（x）在[-3，1]
上的最大值．
（2）當x≥2時，原不等式等價于x²-4-3x＞0，由此求得不等式的解集．當x＜2時，原不等式等價于4-x²-3x＞0，
由此求得不等式的解集．再把以上兩個不等式的解集取并集，即得所求．

解答：解：（1）當x∈[-3，1]時，f（x）=（x+2）|x-2|=（x+2）（2-x）=-x²+4．
∵-3≤x≤1，∴0≤x²≤9．于是-5≤-x²+4≤4，
即函數f（x）在[-3，1]上的最大值等于4．
∴要使不等式f（x）≤a在[-3，1]上恒成立，實數a的取值范圍是[4，+∞）．
（2）不等式f（x）＞3x，即（x+2）|x-2|-3x＞0．
當x≥2時，原不等式等價于x²-4-3x＞0，解得x＞4，或x＜-1．
又∵x≥2，∴x＞4．
當x＜2時，原不等式等價于4-x²-3x＞0，即x²+3x-4＜0，解得-4＜x＜1，滿足x＜2．
綜上可知，原不等式的解集為{x|x＞4，或-4＜x＜1}．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了分類討論和轉化的數學思想，屬于中檔題．