Question

現從放有標號分別為數字1、2、3、4、5的5 張卡片的盒子中，有放回地先后取兩張卡片，設兩卡片的標號分別為x，y，且設ξ=|x-3|+|x-y|．
（1）求隨機變量ξ的最大值，并求取得此最大值的概率；
（2）求隨機變量ξ的分布列及其期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：|x-3|≤2，|x-y|≤4，即可得到ξ的最大值為6，進而得到x與y的取值共有兩種情況，再結合等可能事件的概率公式得到答案．
（2）由題意可得：ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6，再分別求出其發生的概率，進而得到ξ的分布列與其數學期望．

解答：解：（1）由題意可得：|x-3|≤2，|x-y|≤4，
∴ξ=|x-3|+|x-y|的最大值為6，
此時有x=1，y=5，或者x=5，y=1，共有兩種情況，
故所求事件的概率為P=

2

5×5

=

2

25

．…5（分）
（2）由題意可得：ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6．
∴P（ξ=0）=

1

25

，P（ξ=1）=

1+1+1+1

25

=

4

25

，P（ξ=2）=

8

25

，P（ξ=3）=

4

25

，P（ξ=4）=

4

25

，P（ξ=5）=

2

25

，P（ξ=6）=

2

25

，
∴其分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5	6
P	1 25	4 25	8 25	4 25	4 25	2 25	2 25

∴ξ的數學期望Eξ=0×

1

25

+1×

4

25

+2×

8

25

+3×

4

25

+4×

4

25

+5×

2

25

+6×

2

25

=

14

5

．    …10（分）

點評：本題主要考查等可能事件的概率公式，以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，在求ξ取值發生的概率時要注意分類討論要有規律，分類做到不重不漏，此題考查形式的運算能力．