Question

如圖，正三棱錐V-ABC的底面邊長為a，側棱與底面所成的角等于θ，過底面一邊作棱錐的截面，當截面與底面所成二面角為何值時，截面面積最小？并求出最小值．

Answer 1

分析：作VO⊥平面ABC，由正三棱錐的幾何特征可得O為△ABC的中心，連接AO并延長交BC于D，則∠DAO=θ，連接VD，PD，由線面垂直及面面垂直的判定定理可得BC⊥平面VAD，進而PDC平面VAD，∠PDA為截面與底面所成角，根據正弦定理我們可以得到PD長的表達式，根據正弦函數的性質求出PD的最小值，即可得到答案．

解答：解：作VO⊥平面ABC，O為垂足，因為V-ABC是正三棱錐，所以O為△ABC的中心，
連接AO并延長交BC于D，則AD⊥BC，∠DAO=θ
連接VD，PD
∴BC⊥VA∴BC⊥平面VAD，進而PDC平面VAD…（4分）
∴PD⊥BC∴∠PDA為截面與底面所成角，設為x，在△PAD中，∠PAD=θ，∠PDA=x，∴∠APD=180°-（θ+π） …（4分）
根據正弦定理得

PD

sinθ

=

AD

sin[180°-(θ+x)]

PD=

3 2 asinθ

sin(θ+x)

=

3 sinθ

2sin(θ+x)

≥

3

2

asinθ（4分）
當且僅當sin（θ+x）=1，θ+x=90°，x=90°-θ的等號成立，∴PD最小
∴S_△PBC最小面積=

1

2

a•

3

2

asinθ=

3

4

a2sinθ

點評：本題考查的點是與二面角有關的立體幾何問題，其中根據正弦定理得到PD長的表達式，進而根據正弦函數的性質求出PD的最小值，是解答本題的關鍵．