Question

定長為3的線段AB兩端點A、B分別在x軸，y軸上滑動，M在線段AB上，且

AM

=2

MB

．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）設過F(0，

3

)且不垂直于坐標軸的動直線l交軌跡C于A、B兩點，問：線段OF上是否存在一點D，使得以DA，DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y），則

x= x1 3 y= 2y1 3

，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（2）設滿足條件的點D（0，m），設l的方程為：y=kx+

3

，(k≠0)，代入橢圓方程，得(k2+4)x2+2

3

kx-1=0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=-

2 3 k

k2+4

，y1+y2=k(x1+x2)+2

3

=

8 3

k2+4

．由以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，知(

DA

+

DB

)  ⊥

AB

，由此能導出存在滿足條件的點D．

解答：解：（1）設A（x₁，0），B（0，y₁），M（x，y）
則

x= x1 1+2 y= 2y1 1+2

∴

x1=3x y1= 3 2 y

，|AB|=3=

(3x)2+( 3 2 y)2

即：

y2

4

+x2=1
（2）存在滿足條件的D點．設滿足條件的點D（0，m），
則(0≤m≤

3

)，設l的方程為：y=kx+

3

，（k≠0），代入橢圓方程，
得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

2 3 k

k2+4

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

3

=

8 3

k2+4

．∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
∴(

DA

+

DB

)  ⊥

AB

，

DA

+

DB

=(x1，y1-m)  +(x2，y2-m)=(-

2 3 k

k2+4

，

8 3

k2+4

-2m)，

AB

的方向向量為（1，k），(

DA

+

DB

)  •

AB

=0，
∴-

2 3 k

k2+4

+

8 3 k

k2+4

-2mk=0即m=

3 3

k2+4

∵k²＞0，∴m=

3 3

k2+4

＜

3 3

4

＜

3

，∴0＜m＜

3

，∴存在滿足條件的點D．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．