Question

(本小題滿分14分)已知在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為直角梯形，且滿足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB₁＝8，E，F分別是線段A₁A，BC上的點．

(1) 若A₁E＝5，BF＝10，求證：BE∥平面A₁FD.

(2) 若BD⊥A₁F，求三棱錐A₁AB₁F的體積．

Answer 1

(1) 過E作EG∥AD交A₁D于G，連接GF.

∵＝，∴＝，∴EG＝10＝BF.

∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG.

∴四邊形BFGE是平行四邊形．

∴BE∥FG.(4分)

又FG⊂平面A₁FD，BE⊄平面A₁FD，

∴BE∥平面A₁FD.(6分)

(2) ∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A₁A⊥BD.

由已知，BD⊥A₁F，AA₁∩A₁F＝A₁，

∴BD⊥平面A₁AF.

∴BD⊥AF.(8分)

∵梯形ABCD為直角梯形，且滿足AD⊥AB，BC∥AD，

∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2.

在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝.

∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，

∴＝，BF＝4.(10分)

∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD，

又平面ABCD∩平面AA₁B₁B＝AB，∠ABF＝90°，

∴FB⊥平面AA₁B₁B，即BF為三棱錐FA₁B₁A的高．(12分)

∵∠AA₁B₁＝90°，AA₁＝BB₁＝8，A₁B₁＝AB＝8，

∴S△AA₁B₁＝32.

∴V三棱錐A₁AB₁F＝V三棱錐FA₁B₁A＝×S△AA₁B₁×BF＝.(14分)