Question

設f(x)=,其中a為正實數.

(1)當a=時,求f(x)的極值點.

(2)若f(x)為[,]上的單調函數,求a的取值范圍.

 

Answer 1

(1) x1=是極大值點,x2=是極小值點 (2) 0<a≤1或a≥

【解析】f'(x)=.

(1)當a=時,若f'(x)=0,則4x2-8x+3=0x1=,x2=,則

x	(-∞,)		(,)		(,+∞)
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴x1=是極大值點,x2=是極小值點.

(2)記g(x)=ax2-2ax+1,則

g(x)=a(x-1)2+1-a,

∵f(x)為[,]上的單調函數,

則f'(x)在[,]上不變號,

∵>0,

∴g(x)≥0或g(x)≤0對x∈[,]恒成立,

又g(x)的對稱軸為x=1,故g(x)的最小值為g(1),最大值為g().

由g(1)≥0或g()≤00<a≤1或a≥,

∴a的取值范圍是0<a≤1或a≥.