Question

數列{a_n} 中a₁=，前n項和S_n滿足S_n+1-S_n=（n∈N^*）．
（ I ） 求數列{a_n}的通項公式a_n以及前n項和S_n；
（Ⅱ）記  （n∈N^*）求數列{b_n} 的前n項和T_n；
（Ⅲ）試確定T_n與（n∈N^*）的大小并證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由得（n∈N^*），由此能求出數列{a_n}的通項公式a_n以及前n項和S_n．
（Ⅱ）由，知，再由錯位相減法能求出數列{b_n} 的前n項和T_n．
（Ⅲ）由，知確定T_n與的大小關系等價于比較2ⁿ與2n+1的大小，經分類討論知n=1，2時，n=3時．
解答：解：（I）得（n∈N^*）（1分）
又a₁=，故（n∈N^*）（2分）
從而（4分）
（Ⅱ）由（I），（5分）（6分）
兩式相減，得（7分）
==（8分）
所以（9分），
（Ⅲ）
于是確定T_n與的大小關系等價于比較2ⁿ與2n+1的大小（10分）
n=1時2＜2+1，n=2時2²＜2×2+1，n=3時2³＞2×3+1（11分）
令g（x）=2^x-2x-1，g′（x）=2^xln2-2，x＞2時g（x）為增函數，（12分）
所以n≥3時g（n）≥g（3）=1＞0，2ⁿ≥2n+1，（13分）
綜上所述n=1，2時n=3時（14分）
點評：本題考查數列的通項公式、前n項和的求法和數列與不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意錯位相關法的合理運用，恰當地進行等價轉化．