Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N為側棱PC上的兩個三等分點

（1）求證：AN∥平面 MBD;  
（2）求異面直線AN與PD所成角的余弦值;
（3）求二面角M-BD-C的余弦值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）．

試題分析：
解題思路：（1）構造三角形的中位線，出現線線平行，利用線面平行的判定即得線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線所成角的余弦值；（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角的余弦值.
規律總結：對于空間幾何體中的垂直、平行關系的判定，要牢牢記住有關判定定理與性質定理并靈活進行轉化，線線關系是關鍵；涉及夾角、距離的求解問題以及開放性問題，要注意恰當建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解.
試題解析：（1）證明：連結AC交BD于O，連結OM，
∵底面ABCD為矩形，∴O為AC中點，
∵M、N為側棱PC的三等分點，∴CM=MN，
∴OM∥AN, ∵平面MBD，AN平面MBD
∴AN∥平面MBD                                  
（2）如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系A-xyz,
則A（0,0,0），B（3，0,0）, C(3,6,0),D(0,6,0)
P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2)
∵                           
                 
∴異面直線AN與PD所成的角的余弦值為       
（3）∵側棱PA⊥底面ABCD
∴平面BCD的一個法向量為
設平面MBD的法向量為
并且
，令y=1,得x=2,z=-2
∴平面MBD的一個法向量為          

由圖知二面角是銳角
∴二面角的余弦值為.