Question

求經過兩圓x²+y²-2x-3=0與x²+y²-4x+2y+3=0的交點，且圓心在直線2x-y=0上的圓的方程．

Answer 1

分析：聯解兩圓方程得交點為A（1，-2）和B（3，0），從而得到AB的中垂線方程y=-x+1，可得所求圓的圓心為直線y=-x+1與直線2x-y=0的交點，解出圓心坐標為C(

1

3

，

2

3

)，由兩點的距離公式算出圓的半徑，即可得到所求圓的方程．

解答：解：由

x 2+y 2-2x-3=0 x 2+y 2-4x+2y+3=0

，聯解得

x=1 y=-2

或

x=3 y=0

∴兩圓的交點為A（1，-2）和B（3，0），
因此，所求圓的圓心C在線段AB的中垂線y=-x+1上，
又∵圓心C在y=2x上，
∴解

y=-x+1 y=2x

得x=

1

2

或x=

2

3

，可得圓心坐標為C(

1

3

，

2

3

)．
半徑r=

(1- 1 3 )2+(-2- 2 3 )2

=

2 17

3

因此，所求圓的方程為（x-

1

3

）²+（y-

2

3

）²=

68

9

，即3x²+3y²-2x-4y-21=0．

點評：本題求經過兩圓交點，并且圓心在定直線的圓的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和圓與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．