Question

【題目】設函數，已知曲線在點處的切線與直線平行

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然數，使得方程在內存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由。

（Ⅲ）設函數（表示中的較小者），求的最大值。

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 時，方程在內存在唯一的根.證明見解析.

(3) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出f（x）的導數，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得；（Ⅱ）求出的導數和單調區間，最值，由零點存在定理，即可判斷存在；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得的解析式，通過的最大值，即可得到所求．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，曲線在點處的切線斜率為，所以，

又所以．

（Ⅱ）時，方程在內存在唯一的根．

設

當時， ．

又

所以存在，使．

因為所以當時， ，當時， ，

所以當時， 單調遞增．

所以時，方程在內存在唯一的根．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在內存在唯一的根，且時， ， 時， ，所以．

當時，若

若由可知故

當時，由可得時， 單調遞增； 時， 單調遞減；

可知且．

綜上可得函數的最大值為．