Question

（2012•廣東）設數列{a_n}前n項和為S_n，數列{S_n}的前n項和為T_n，滿足Tn=2Sn-n2，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，T₁=2S₁-1．由T₁=S₁=a₁，所以a₁=2a₁-1，能求出a₁．
（2）當n≥2時，Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1，所以S_n=2S_n-1+2n-1，S_n+1=2S_n+2n+1，故a_n+1=2a_n+2，所以

an+1+2

an+2

=2（n≥2），由此能求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）當n=1時，T₁=2S₁-1
因為T₁=S₁=a₁，所以a₁=2a₁-1，求得a₁=1
（2）當n≥2時，
Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1
所以S_n=2S_n-1+2n-1①
所以S_n+1=2S_n+2n+1②
②-①得 a_n+1=2a_n+2
所以a_n+1+2=2（a_n+2），即

an+1+2

an+2

=2（n≥2）
求得a₁+2=3，a₂+2=6，則

a2+2

a1+2

=2
所以{a_n+2}是以3為首項，2為公比的等比數列
所以an+2=3•2n-1
所以an=3•2n-1-2，n∈N^*．

點評：本題考查數列的首項和數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意迭代法的合理運用．