Question

如圖，如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）若PD與平面ABCD所成角為60°，且AD=2，AB=4，求點A到平面PED的距離．

Answer 1

分析：（I）取PC的中點O，連接OF，OE．由OF∥DC且OF=

1

2

DC，E是AB的中點，知AEOF是平行四邊形，由此能夠證明AF∥平面PEC．
（II）法一：設A平面PED的距離為d，由PA⊥平面ABCD，知∠PDA為PD與平面ABCD所成角，且∠PDA=60°，再由V_P-AED=V_A-PDE，能推導出點A到平面PED的距離．
法二：由PA⊥平面ABCD，知∠PDA為PD與平面ABCD所成角，且∠PDA=60°，得到PA=ADtan60o=2

3

，PD=

AD

cos60o

=4，由AB=4，E是AB的中點所以AE=2=AD，由平面PDE⊥平面PAH，能推導出點A到平面PED的距離．

解答：（I）證明：如圖，取PC的中點O，連接OF，OE．
由已知得OF∥DC且OF=

1

2

DC，
又∵E是AB的中點，則OF∥AE且OF=AE，∴AEOF是平行四邊形，
∴AF∥OE
又∵OE?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（II）解法一：設A平面PED的距離為d，
因PA⊥平面ABCD，故∠PDA為PD與平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA=ADtan60o=2

3

，PD=

AD

cos60o

=4，
又因為AB=4，E是AB的中點所以AE=2，
PE=

PA2+AE2

=4，DE=

DA2+AE2

=2

2

．
作PH⊥DE于H，因PD=PE=4，DE=2

2

，
則DH=

2

，PH=

PD2-DH2

=

14

，
則S△ADE=

1

2

×AD•AE=2，S△PDE=

1

2

×PH•DE=2

7

因V_P-AED=V_A-PDE
所以d=

PA•S△ADE

S△PDE

=

2 3 ×2

2 7

=

2 21

7

，
（Ⅱ）解法二：因PA⊥平面ABCD，故∠PDA為PD與平面ABCD所成角，所以∠PDA=60°，
所以PA=ADtan60o=2

3

，PD=

AD

cos60o

=4，
又因AB=4，E是AB的中點所以AE=2=AD，
PE=

PA2+AE2

=4，DE=

DA2+AE2

=2

2

．
作PH⊥DE于H，連接AH，因PD=PE=4，則H為DE的中點，故AH⊥DE
所以DE⊥平面PAH，所以平面PDE⊥平面PAH，作AG⊥PH于G，
則AG⊥平面PDE，所以線段AG的長為A平面PED的距離．
又DH=

2

，PH=

PD2-DH2

=

14

，AH=

AD2-DH2

=

2

所以AG=

PA•AH

PH

=

2 3 • 2

14

=

2 21

7

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和等積法的合理運用．