【題目】將圓周上的所有點進行三染色。證明：存在無窮多個等腰三角形，其頂點均為圓周上的同色點。
【答案】見解析
【解析】
先證明一個引理.
引理 對一個正十三邊形的頂點進行三染色，則必有一個三頂點同色的等腰三角形.
證明 反證法.
假設存在一種染色方法，使得在正十三邊形中不存在同色等腰三角形.
由抽屜原理，知至少有五個點同色.
下面考慮這五個點的分布情形.
1 若這五個點中任意兩點不相鄰，設這五個中相鄰兩點所間隔的邊數依次為a、b、c、d、e，則a+b+c+d+e=13，且a、b、c、d、e≥2.
故至少有兩個值為2，其余三個要么均為3 ，要么還存在第三個值為2，即a、b、c、d、e中存在三個數相等.這三條線段有六個端點，而同色點只有五個.因此，至少有兩條線段有公共頂點，則構成了等腰三角形，與假設矛盾.
2 若這五個點中存在相鄰的點，不妨設為
.據假設，知不存在同色等腰三角形.從而，排除點
.如圖.
若點
也染了該色，則排除點
，在剩下的點
中任選兩個染色，均與假設矛盾.故點染了其他顏色.由對稱性，知點
也染了其他顏色.
若點
染了該色，則排除點
，在剩下的點
中任選兩個染色，均與假設矛盾.故點染了其他顏色.由對稱性，知點
也染了其他顏色.
在剩下的點
中任選三個染色，均與假設矛盾.
因此，假設不成立.
引理得證.
由于圓周上的點可以構成無窮多個正十三邊形，據引理，知存在無窮多個同色等腰三角形.
又由于只有三種顏色，則存在無窮多個等腰三角形，其頂點均為圓周上的同色點.
證明 記△DEF的外接圓、△BHC的外接圓分別為
.
因為B、F、H、D四點共圓，所以，PB·PH=PD·PF.
于是，點P在圓
與
的根軸上.
類似地，由C、E、H、D四點共圓，知點Q 在圓與的根軸上.
由于點S在圓與的根軸PQ上，故點S在圓上.
以H為反演中心，-HA·HD為反演冪作反演變換，則
.
由于M為EF與圓
的交點，S為圓與的交點，從而，
.
因此，M、H、S三點共線.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的“更相減損術”可以用來求兩個數的最大公約數，原文是：可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之. 翻譯為現代的語言如下：如果需要對分數進行約分，那么可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）.如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數字來約分，現給出“更相減損術”的程序框圖如圖所示，如果輸入的
，
，則輸出的
（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分12分）某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關．現采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統計了他們某月的日平均生產件數，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產件數分成5組：
，
，
，
，
分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率．
（Ⅱ）規定日平均生產件數不少于80件者為“生產能手”，請你根據已知條件完成
的列聯表，并判斷是否有
的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”？
附表：
P（ | 0．100 | 0．010 | 0．001 |
k | 2．706 | 6．635 | 10．828 |
，（其中
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列說法：
①如果一條線段的中點在一個平面內，那么它的兩個端點也在這個平面內；
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
③兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
④若一個四邊形有三條邊在同一個平面內，則第四條邊也在這個平面內；
⑤點
在平面
外，點和平面內的任意一條直線都不共面.
其中所有正確說法的序號是______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學作為藍色海洋教育特色學校，隨機抽取100名學生，進行一次海洋知識測試，按測試成績(假設考試成績均在[65，90)內)分組如下：第一組[65，70)，第二組 [70，75)，第三組[75，80)，第四組 [80，85)，第五組 [85，90)．得到頻率分布直方圖如圖C34.
(1)求測試成績在[80，85)內的頻率；
(2)從第三、四、五組學生中用分層抽樣的方法抽取6名學生組成海洋知識宣講小組，定期在校內進行義務宣講，并在這6名學生中隨機選取2名參加市組織的藍色海洋教育義務宣講隊，求第四組至少有1名學生被抽中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將下列問題的解答過程補充完整．
依次計算數列
，
，
，
，…的前四項的值，由此猜測
的有限項的表達式，并用數學歸納法加以證明．
解：計算 
，
，
① ，
② ，
由此猜想
③ ．（*）
下面用數學歸納法證明這一猜想．
（i）當
時，左邊
，右邊，所以等式成立．
（ⅱ）假設當
時，等式成立，即
④ ．
那么，當
時，
⑤
⑥
⑦ ．
等式也成立．
根據（i）和（ⅱ）可以斷定，（*）式對任何
都成立．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校數學學院為了對2018年錄取的大一新生有針對性地進行教學.從大一新生中隨機抽取40名，對他們在2018年高考的數學成績進行調查，統計發現40名新生的數學分數
分布在
內.當
時，其頻率
.
（1）求
的值；
（2）請在答題卡中畫出這40名新生高考數學分數的頻率分布直方圖，并估計這40名新生的高考數學分數的平均數（同一組中的數據用該區間的中點值作代表）.
（3）若高考數學分數不低于120分的為優秀，低于120分的為不優秀，則按高考成績優秀與否從這40名新生中用分層抽樣的方法抽取4名學生，再從這4名學生中隨機抽取2名，求這2名學生的高考成績均為優秀的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場為了了解顧客的購物信息，隨機在商場收集了
位顧客購物的相關數據如下表：
一次購物款（單位：元） |
|
|
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顧客人數 |
|
|
|
|
|
統計結果顯示
位顧客中購物款不低于
元的顧客占
，該商場每日大約有
名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次購物不低于
元的顧客發放紀念品.
（Ⅰ）試確定
， 
的值，并估計每日應準備紀念品的數量；
（Ⅱ）現有
人前去該商場購物，求獲得紀念品的數量
的分布列與數學期望.
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