Question

函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有f(

π

3

+x)=f(

π

3

-x)恒成立，設(shè)g（x）=3cos（ωx+φ）+1，則g(

π

3

)=

 

．

Answer 1

分析：由f(

π

3

+x)=f(

π

3

-x)恒成立，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=

π

3

對(duì)稱，根據(jù)正弦及余弦函數(shù)的對(duì)稱性的性質(zhì)可得（x）=3sin（ωx+φ）的對(duì)稱軸為函數(shù)g（x）=3cos（ωx+φ）+1的對(duì)稱中心，可求

解答：解：∵任意的實(shí)數(shù)都有f(

π

3

+x)=f(

π

3

-x)恒成立，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=

π

3

對(duì)稱
∵f（x）=3sin（ωx+φ）的對(duì)稱軸為函數(shù)g（x）=3cos（ωx+φ）+1的對(duì)稱中心
故有則g(

π

3

)=1
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性非常好的試題，靈活運(yùn)用了性質(zhì)：若函數(shù)f（x+a）=f（a-x）?函數(shù)關(guān)于x=a對(duì)稱（ 區(qū)別：f（x+a）=f（x-a）?T=2a），解決本題的令一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)正弦及余弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=3sin（ωx+φ）的對(duì)稱軸為函數(shù)g（x）=3cos（ωx+φ）+1的對(duì)稱中心，這也是本題的“題眼”．