Question

已知函數f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），設h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函數h（x）的定義域及值域；
（Ⅱ）判斷函數h（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），知h（x）=f（x）+g（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²）．由此能求出函數h（x）的定義域和值域．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數h（x）的定義域{x|-2＜x＜2}關于原點對稱，且h（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=h（x），由此能判斷h（x）的奇偶性．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），
∴h（x）=f（x）+g（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
由

2+x＞0 2-x＞0

得-2＜x＜2．
所以函數h（x）的定義域是{x|-2＜x＜2}．
h（x）=f（x）+g（x）=lg（4-x²）．
∵-2＜x＜2，∴0＜4-x²≤4，
∴lg（4-x²）≤2lg2，所以函數h（x）的值域是（-∞，2lg2]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數h（x）的定義域{x|-2＜x＜2}關于原點對稱，
且h（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=h（x），
∴h（x）是偶函數．

點評：本題考查函數的定義域、值域和奇偶性的求法，解題時要認真審題，注意對數函數性質的靈活運用．