Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若

AC

AB

=

2

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

分析：（I）連接OD，△AOD是等腰三角形，結合，∠BAC的平分線AD，得到OD∥AE可得結論．
（II）過D作DH⊥AB于H，設OD=5x，則AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，由△AED≌△AHD和△AEF∽△DOF推出結果．

解答：（I）證明：連接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC（2分）
∴OD∥AE又AE⊥DE（3分）
∴DE⊥OD，又OD為半徑
∴DE是的⊙O切線（5分）

（II）解：過D作DH⊥AB于H，
則有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

（6分）
設OD=5x，則AB=10x，OH=2x，∴AH=7x（7分）
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x（8分）
又由△AEF∽△DOF可得AF：DF=AE：OD=

7

5

∴

AF

DF

=

7

5

點評：本題考查平面幾何中三角形的相似和全等，輔助線的做法，是解題關鍵，本題是難題．