Question

【題目】已知數列和滿足：，且成等比數列，成等差數列．

（1）行列式，且，求證：數列是等差數列；

（2）在（1）的條件下，若不是常數列，是等比數列，

①求和的通項公式；

②設是正整數，若存在正整數，使得成等差數列，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，；②6

【解析】

(1)根據行列式的代數余子式可得,再根據等差中項可證;

(2)①設等差數列的公差為,等比數列的公比為,運用等差數列和等比數列的性質和通項公式,解方程組即可得到所求通項;

②由等差數列的中項性質和分類討論,即可得到最小值.

證明:因為,

所以,,

因為,所以,即,

所以數列是等差數列.

①由(1)知數列是等差數列,設公差為(),設等比數列 的公比為,

因為成等比數列，成等差數列,

所以且,

所以,且,

結合化簡可得且,

解得,

所以,,

故,.

②因為成等差數列,

所以,即,

由于,且均為正整數,

所以,,所以,

可得,即,

當時,,,所以不等式不成立,

當或時,成立,

當時,,即時,則有,

所以的最小值為6,當且僅當且或時, 取得最小值6.