Question

定義變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

可把平面直角坐標系上的點P（x，y）變換到這一平面上的點P′（x′，y′）．特別地，若曲線M上一點P經變換公式T變換后得到的點P'與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點．
（1）若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為2

2

，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2．求該橢圓C的標準方程．并求出當θ=arctan

3

4

時，其兩個焦點F₁、F₂經變換公式T變換后得到的點F_1^′和F₂^′的坐標；
（2）當θ=arctan

3

4

時，求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標；
（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

（θ≠

kπ

2

，k∈Z）下的不動點的存在情況和個數．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），求出c，a，b然后結合定義變換T，求出點F_1^′和F₂^′的坐標．
（2）θ=arctan

3

4

時，利用（1）中的橢圓C在變換T下，點P（x，y）∈C，根據橢圓方程求出的不動點的坐標；
（3）設P（x，y）是雙曲線在變換下的不動點，推出

y

x

=

1-cosθ

sinθ

=

sinθ

1+cosθ

=tan

θ

2

，設雙曲線方程為

x2

m

+

y2

n

=1（mn＜0），y=tan

θ

2

x代入，推出

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1 討論mn＜0，故當n+mtan2

θ

2

=0時，方程

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1無解；
當n+mtan2

θ

2

≠0時，要使不動點存在，則需x2=

mn

n+mtan2 θ 2

＞0，
因為mn＜0，故當n+mtan2

θ

2

＜0時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點，否則不存在不動點．
進一步分類：
（i）當n＜0，m＞0下一定有2個不動點；
（ii）當n＞0，m＜0時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點．

解答：解：（1）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由橢圓定義知焦距2c=2

2

?c=

2

，即a²-b²=2①．
又由條件得a²+b²=4②，故由①、②可解得a²=3，b²=1．
即橢圓C的標準方程為

x2

3

+y2=1．
且橢圓C兩個焦點的坐標分別為F1(-

2

，0)和F1(

2

，0)．
對于變換T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

，當θ=arctan

3

4

時，
可得

4 5 x+ 3 5 y=x′ 3 5 x- 4 5 y=y′

設F₁^′（x₁，y₁）和F₂^′（x₂，y₂）分別是由F1(-

2

，0)和F1(

2

，0)的坐標由變換公式T變換得到．于是，

x1= 4 5 •(- 2 )+ 3 5 •0=- 4 2 5 y1= 3 5 •(- 2 )- 4 5 •0=- 3 2 5

，即F₁^′的坐標為(-

4 2

5

，-

3 2

5

)；
又

x2= 4 5 • 2 + 3 5 •0= 4 2 5 y2= 3 5 • 2 - 4 5 •0= 3 2 5

即F₂^′的坐標為(

4 2

5

，

3 2

5

)．
（2）設P（x，y）是橢圓C在變換T下的不動點，則當θ=arctan

3

4

時，
有

4 5 x+ 3 5 y=x 3 5 x- 4 5 y=y

?x=3y，由點P（x，y）∈C，即P（3y，y）∈C，
得：

(3y)2

3

+y2=1

y=± 1 2 x=3y

，因而橢圓
的不動點共有兩個，分別為(

3

2

，

1

2

)和(-

3

2

，-

1

2

)．
（3）設P（x，y）是雙曲線在變換
下的不動點，則由

cosθ•x+sinθ•y=xsinθ•x-cosθ•y=y

?

sinθ•y=(1-cosθ)•xsinθ•x=(1+cosθ)•y

因為θ≠

kπ

2

，k∈Z，故

y

x

=

1-cosθ

sinθ

=

sinθ

1+cosθ

=tan

θ

2

．
不妨設雙曲線方程為

x2

m

+

y2

n

=1（mn＜0），由y=tan

θ

2

x代入得
則有

x2

m

+

(tan θ 2 •x)2

n

=1?

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1，
因為mn＜0，故當n+mtan2

θ

2

=0時，方程

n+mtan2 θ 2

mn

x2=1無解；
當n+mtan2

θ

2

≠0時，要使不動點存在，則需x2=

mn

n+mtan2 θ 2

＞0，
因為mn＜0，故當n+mtan2

θ

2

＜0時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點，否則不存在不動點．
進一步分類可知：
（i）當n＜0，m＞0時，即雙曲線的焦點在
軸上時，?n+mtan2

θ

2

＜0?tan2

θ

2

＜-

n

m

；
此時雙曲線在變換
下一定有2個不動點；
（ii）當n＞0，m＜0時，即雙曲線的焦點在y軸上時，?n+mtan2

θ

2

＜0?tan2

θ

2

＞-

n

m

＞0．
此時雙曲線在變換T下一定有2個不動點．

點評：本題考查解橢圓的應用，橢圓的簡單性質，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想，計算能力，分類討論思想，是難題，創新題．