Question

（09年湖南師大附中月考理）（12分）

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已經在150m處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分．已知射手甲在100m處擊中目標的概率為，他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的．

(1)求這名射手分別在第二次、第三次射擊中命中目標的概率及三次射擊中命中目標的概率；

       (2)設這名射手在比賽中得分數為，求隨機變量的概率分布列和數學期望．

Answer 1

解析：（1）記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件A、B、C，三次均未命中目標的事件為D．依題意

。設在米處擊中目標的概率為，則，由時，所以，，即，…………………（2分）

，…………………………（5分）

由于各次射擊都是獨立的，所以該射手在三次射擊中命中目標的概率為

…………………………（8分）

(2)依題意，設射手甲得分為，則，，

，，所以的分布列為

所以…………………………（12分）