Question

【題目】如圖，橢圓與一等軸雙曲線相交，是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，，雙曲線的焦點是橢圓的左、右頂點，設為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線的斜率分別為，且直線和與橢圓的交點分別為、和、.

（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（2）（i）證明：；

（ii）是否存在常數，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；(2）（i）證明見解析；（ii）存在，.

【解析】

（1）根據題意雙曲線的，進而可求雙曲線的標準方程；橢圓的，由可得，進而可得橢圓的標準方程.

（2）（i）設點，利用兩點，，從而可得，將點代入雙曲線方程即可證出；（ii）假設存在常數，使得恒成立，由（i）設直線的方程為，進而求出直線的方程，把直線代入橢圓方程，利用弦長公式求出， 同理求出弦長，代入整理即可求出的值

（1）由題意知，雙曲線的，方程為：

橢圓：，即.

于是橢圓方程為；

（2）（i）設點，則，，

則；

而由點在雙曲線上，可知，即有；

從而，故.

（ii）假設存在常數，使得恒成立.

則由（i）知，所以可設直線的方程為，

直線的方程為；

把直線的方程為代入橢圓方程，

整理得；

若設，，則有，；

因此；

同理可得；

因此由知

.

所以存在常數，使得恒成立.