Question

【題目】已知橢圓經過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設分別為橢圓的左、右焦點，不經過的直線與橢圓交于兩個不同的點，如果直線、、的斜率依次成等差數列，求焦點到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知條件算出的值，得出橢圓C的方程；（2）設， ，直線的方程為，代入橢圓方程中，消去得，由韋達定理求出的值，利用直線、、的斜率依次成等差數列，得到，從而，即，化簡得，由點到直線的距離，求出的表達式，通過借助函數的單調性，求出的范圍。

試題解析（1）由題意，知考慮到，解得

所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設直線的方程為，代入橢圓方程，

整理得.

由，得. ①

設， ，則， .

因為，所以， .

因為，且， ，

所以.

因為直線AB： 不過焦點，所以，

所以，從而，即. ②

由①②得，化簡得. ③

焦點到直線： 的距離.

令，由知.

于是.

考慮到函數在上單調遞減，

所以，解得.