Question

數列滿足，，其中，．
①當時，_____；
②若存在正整數，當時總有，則的取值范圍是_____.

Answer 1

.；.

①當λ=0時，a_n+1=a_n，利用累積法求通項公式后，再求a₂₀即可．
②記b_n=（n=1，2，…），則λ滿足
．由此可求出故λ的取值范圍．
解答：解：①當λ=0時，
a_n+1=a_n，
∴

…
=
以上各式相乘得出
又a₁=1，
∴a_n=．
a₂₀=1/20
②記b_n=（n=1，2，），根據題意可知，且λ≠n（n∈N^*），這時總存在n₀∈N^*，滿足：當n≥n₀時，b_n＞0；
當n≤n₀-1時，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀為偶數，
則a_n0＜0，從而當n＞n₀時，a_n＜0；若n₀為奇數，則a_n0＞0，
從而當n＞n₀時a_n＞0．因此“存在m∈N^*，當n＞m時總有a_n＜0”
的充分必要條件是：n₀為偶數，
記n₀=2k（k=1，2，），則λ滿足．
故λ的取值范圍是λ∈（2k-1，2k），
故答案為：1/20，（2k-1，2k），（k=1，2，），