Question

已知橢圓(a＞b＞0)的一個焦點F與拋物線y²＝4x的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點F．

(Ⅰ)求該橢圓的方程；

(Ⅱ)設橢圓的另一個焦點為F₁，問拋物線y²＝4x上是否存在一點M，使得M與F₁關于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)拋物線的焦點為，準線方程為，　2分 　　∴①　3分 　　又橢圓截拋物線的準線所得弦長為， 　　∴得上交點為， 　　∴②　4分 　　由①代入②得，解得或(舍去)， 　　從而　6分 　　∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為　7分 　　(2)∵傾斜角為的直線過點， 　　∴直線的方程為，即，　8分 　　由(1)知橢圓的另一個焦點為，設與關于直線對稱，　9分 　　則得　10分 　　解得，即 　　又滿足，故點在拋物線上．　12分 　　所以拋物線上存在一點，使得與關于直線對稱．　13分