Question

如圖，公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地，現修成草坪， 圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上．
(1)．設AD=x（x≥0），DE=y，求用x表示y的函數關系式,并求函數的定義域；
(2)．如果DE是灌溉水管，為節約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請予證明．

Answer 1

（1）；（2）如果DE是水管，DE的位置在AD=AE=處，如果DE是參觀路線，則DE為AB中線或AC中線時，DE最長，證明過程詳見解析．

解析試題分析：（1）在△ADE中，利用余弦定理可得，又根據面積公式可得，消去AE后即可得到y與x的函數關系式，又根據可以得到x的取值范圍；（2）如果DE是水管，則問題等價于當時，求的最小值，利用基本不等式即可求得當時，y有最小值為，如果DE是參觀路線，則問題等價于問題等價于當時，求的最小值，根據函數在[1,2]上的單調性，可得當x=1或2時，y有最小值．
（1）在△ADE中，由余弦定理：①
又∵ ②
②代入①得（y＞0）, ∴，
由題意可知，所以函數的定義域是，
；
（2）如果DE是水管,
當且僅當，即x＝時“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝．
如果DE是參觀線路，記，可知函數在[1，]上遞減，在[，2]上遞增，
故 ∴y _max＝．即DE為AB中線或AC中線時，DE最長．    
考點：1、平面向量的數量積；2、三角形面積計算．