Question

如圖，一個多面體的直觀圖如圖a所示，它的正視圖和俯視圖都是邊長為2的正方形，左視圖如圖b所示．已知M、N分別是AF、BC的中點．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=2

2

.∠CBF=

π

2

，由此能夠證明MN∥面CDEF．
（2）由條件AB⊥AE；AD⊥AE，AD∩AB=A，從而得到AE⊥面ABCD．四棱錐E-ABCD是以AE為高，以矩形ABCD為底面的棱錐，由此能求出棱錐E-ABCD的體積．

解答：（1）證明：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE-BCF，
且AB=BC=BF=2，DE=CF=2

2

.∠CBF=

π

2

，
△BEC中，MN為中位線，故MN∥CE，
又CE?面CDEF，MN?面CDEF，
∴MN∥面CDEF．
（2）解：由條件AB⊥AE，AD⊥AE，AD∩AB=A，
∴AE⊥面ABCD．
四棱錐E-ABCD是以AE為高，以矩形ABCD為底面的棱錐，
在△ADE中，AE=2，S_ABCD=AB•AD=4，
∴棱錐E-ABCD的體積為：V=

1

3

•SABCD•AE=

1

3

×4×2=

8

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意三視圖的合理運用．