Question

某會議室用5盞燈照明,每盞燈各使用燈泡一只,且型號相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關,該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p₁,壽命為2年以上的概率為p₂.從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作,只更換已壞的燈泡,平時不換.?

(1)在第一次燈泡更換工作中,求不需更換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率;?

(2)在第二次燈泡更換工作中,對其中的某一盞燈來說,求該盞燈需要更換燈泡的概率;?

(3)當p₁=0.8,p₂=0.3時,求在第二次燈泡更換工作中,至少需要更換4只燈泡的概率(結果保留兩個有效數字).

Answer 1

解析:本題主要考查概率的基礎知識和運算能力, 以及運用概率的知識分析和解決實際問題的能力.??

(1)在第一次更換燈泡工作中,不需更換燈泡的概率為,需要更換2只燈泡的概率為(1-p₁)².?

(2)對該盞燈來說,在第1、2次都更換了燈泡的概率為(1-p₁)²;在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p₁(1-p₂).故所求的概率為p=(1-p₁)²+p₁(1-p₂).?

(3)至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況.換5只的概率為p⁵(其中p為(2)中所求,下同);換4只的概率為p⁴(1-p).故至少換4只燈泡的概率為

p₃=p⁵+p⁴(1-p).?

又當p₁=0.8,p₂=0.3時,p=0.2²+0.8×0.7=0.6,?

∴p₃=0.6⁵+5×0.6⁴×0.4=0.34,?

即滿2年至少需要換4只燈泡的概率為0.34.