Question

已知△ABC的面積為3，且滿足0≤

AB

•

AC

≤6，設

AB

和

AC

的夾角為θ，則θ的取值范圍是

[

π

4

，

π

2

]

．

Answer 1

分析：由題意，可由△ABC的面積為3建立方程得到|

AB

||

AC

|=

6

sinθ

，再結合不等式0≤

AB

•

AC

≤6得到cosθ與sinθ之間的關系，從而得出兩向量夾角的取值范圍．

解答：解：由題意可知：

1

2

|

AB

||

AC

|sinθ=3，
∴|

AB

||

AC

|=

6

sinθ

．
∴

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|•cosθ=

6cosθ

sinθ

．
∵0≤

AB

•

AC

≤6，0＜θ＜π，
∴0≤

6cosθ

sinθ

≤6，∴0≤cosθ≤sinθ，
∴θ∈[

π

4

，

π

2

]．
故答案為[

π

4

，

π

2

]

點評：本題考查用數量積表示兩個向量的夾角，考查了方程的思想及轉化的思想，解題的關鍵是靈活利用題設中的條件得到關于角的正弦與余弦之間的關系，本是屬于向量中的基本題，有一定的綜合性